一、勾股数定义
满足 a^2 + b^2 = c^2 的正整数三元组 (a, b, c)，称为勾股数。其中 c 是斜边，a, b 是直角边。
二、常见勾股数
1. (3, 4, 5)
3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2
所有倍数也是勾股数，如 (6, 8, 10)、(9, 12, 15)…
2. (5, 12, 13)
25 + 144 = 169
3. (8, 15, 17)
64 + 225 = 289
4. (7, 24, 25)
49 + 576 = 625
三、原始勾股数
若 a, b, c 互质（最大公约数为1），则称为原始勾股数。
例如：(3,4,5), (5,12,13), (8,15,17)…
四、非原始勾股数
非原始勾股数可通过倍数生成，如 (6,8,10) = 2×(3,4,5)
五、快速验证勾股数
检查是否满足 a^2 + b^2 = c^2 且 a, b, c 为正整数。
反例：(2, 3, 4) → 4 + 9 ≠ 16
六、性质：
至少一个直角边是3的倍数（如3,6,9…）。
至少一个直角边是4的倍数（如4,8,12…）。
斜边与一条直角边的差为1时（如5-4=1），常见于原始勾股数。
七、口诀：
奇数平方写连续，偶数半方加减1。
解释：奇数平方写连续就是如果最小的直角边是奇数，它的平方数的两个连续数就是另一条直角边和斜边。如9^2=81，那么40和41就是另一直角边和斜边，即（9，40，41）是勾股数；偶数半方加减1，就是最小直角一半的平方减1就是另一直角边，加1就是斜边。例如一条小直角边是12，它的一半平方是36，36一1=35，35就是另一直角边，36十1=37，37就是斜边，即（12，35，37）是勾股数。