同学们好！今天我们要学习C++中两个超级实用的数学运算符——整除除法和求余运算！它们就像是数学世界的"分苹果魔法"，能帮我们解决很多有趣的数学问题！

一、什么是整除和求余？

通俗理解：

分苹果的例子：

• 有13个苹果
• 分给4个小朋友
• 每人分到：13 ÷ 4 = 3个（整除）
• 还剩下：13 % 4 = 1个（求余）

核心概念：

• 整除除法 /：得到商（每人分几个）
• 求余运算 %：得到余数（剩下几个）

二、基本语法和用法

1. 整除除法/

int result = 13 / 4;  // result = 3

2. 求余运算%

int remainder = 13 % 4;  // remainder = 1

三、趣味案例讲解

案例1：分糖果游戏

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int candies = 23;    // 总糖果数
    int children = 5;    // 小朋友数量
    
    int each = candies / children;  // 每人分到的
    int left = candies % children;  // 剩下的
    
    cout << " 分糖果游戏" << endl;
    cout << "==========" << endl;
    cout << "总糖果数：" << candies << "颗" << endl;
    cout << "小朋友数：" << children << "个" << endl;
    cout << "每人分到：" << each << "颗" << endl;
    cout << "剩余糖果：" << left << "颗" << endl;
    
    return 0;
}

运行结果：

 分糖果游戏
==========
总糖果数：23颗
小朋友数：5个
每人分到：4颗
剩余糖果：3颗

四、整除的注意事项

1. 整数除法的特点

int a = 5 / 2;   // a = 2（不是2.5！）
int b = 7 / 3;   // b = 2（不是2.333...！）

// 如果要得到小数，需要至少一个操作数是浮点数
double c = 5.0 / 2;  // c = 2.5
double d = 7 / 3.0;  // d ≈ 2.333

2. 除数为0的错误

int result = 5 / 0;  //  运行时错误！

五、求余运算的妙用

1. 判断整除关系

if (number % 3 == 0) {
    cout << number << "能被3整除" << endl;
}

2. 循环周期处理

// 模拟时钟，24小时制
int hour = 25;
hour = hour % 24;  // hour = 1（25点就是第二天1点）

3. 提取数字的各位数

int number = 123;
int units = number % 10;       // 个位：3
int tens = (number / 10) % 10; // 十位：2
int hundreds = number / 100;   // 百位：1

六、综合应用案例

案例4：数字分解器

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int number;
    
    cout << " 数字分解器" << endl;
    cout << "==========" << endl;
    cout << "请输入一个三位数：";
    cin >> number;
    
    // 分解各位数字
    int hundreds = number / 100;
    int tens = (number / 10) % 10;
    int units = number % 10;
    
    cout << "百位数：" << hundreds << endl;
    cout << "十位数：" << tens << endl;
    cout << "个位数：" << units << endl;
    cout << "数字和：" << hundreds + tens + units << endl;
    
    return 0;
}

案例5：闰年判断器

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int year;
    
    cout << " 闰年判断器" << endl;
    cout << "==========" << endl;
    cout << "请输入年份：";
    cin >> year;
    
    // 闰年规则：
    // 1. 能被4整除但不能被100整除
    // 2. 或者能被400整除
    if ((year % 4 == 0 && year % 100 != 0) || (year % 400 == 0)) {
        cout << year << "年是闰年" << endl;
    } else {
        cout << year << "年不是闰年" << endl;
    }
    
    return 0;
}

七、常见错误及解决方法

错误1：忘记整数除法特性

int average = (90 + 85 + 95) / 3;  //  正确：90
double average = (90 + 85 + 95) / 3;  //  还是90.0！

// 正确做法：
double average = (90.0 + 85 + 95) / 3;  //  90.0

错误2：负数的求余运算

int a = -7 % 3;  // 结果可能是-1，不同编译器结果可能不同

建议： 避免对负数使用求余运算

错误3：除数为0

int result = 5 / 0;  //  运行时错误！

解决： always check divisor before division

八、动手实践

练习1：倍数判断器

编写程序判断一个数是否能同时被3和5整除

练习2：数字反转

编写程序将一个三位数的数字反转（如123→321）

练习3：分钟转换

编写程序将总分钟数转换为天、小时、分钟格式

九、数学竞赛应用

1. 判断质数

bool isPrime(int n) {
    if (n <= 1) return false;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

2. 最大公约数（GCD）

int gcd(int a, int b) {
    while (b != 0) {
        int temp = b;
        b = a % b;
        a = temp;
    }
    return a;
}

十、总结

今天学会了：

• 整除除法 /：得到商
• 求余运算 %：得到余数
• 实际应用：分物品、时间转换、数字处理
• 常见错误：整数除法特性、除数为0
• 竞赛应用：质数判断、最大公约数

记忆口诀：

整除求余真神奇，数学问题轻松解

斜杠除，百分余，分苹果的例子记心里

判断奇偶和闰年，数字分解时间转

编程竞赛常用到，掌握它们真重要！

课后挑战：

1. 编写程序判断一个数是否能被2、3、5同时整除
2. 制作一个完整的日期计算器，计算两个日期之间的天数差