在数学（尤其是分析、复分析、微分方程等领域 ）和相关应用学科里，“函数的正则性” 是用于刻画函数 “光滑程度” 或 “良好行为” 的概念，不同场景下具体含义有细微差别，以下从核心内涵和常见语境展开说明：

一、分析学（实分析、复分析）中的正则性

二、微分方程中的正则性

• 解的正则性：研究偏微分方程（PDE ）时，“解的正则性” 指解的光滑程度。例如：椭圆型方程（如拉普拉斯方程 ）的解（调和函数 ）具有极佳的正则性（实解析 ），即使边界数据仅连续，解在内部也能无穷次可导；抛物型方程（如热传导方程 ）的解会随时间 “正则化”（初始数据不光滑时，演化后解的光滑性提升 ）；双曲型方程（如波动方程 ）的解正则性则与初始数据、方程系数密切相关，可能出现奇性（如激波 ）。
• 意义：解的正则性决定了方程的 “适定性” 和 “求解方法”。高正则性的解可使用级数展开、光滑函数逼近等方法；低正则性的解则需引入广义函数（如分布 ）框架分析。

三、代数几何与复几何中的正则性

• 正则函数（代数簇上）：在代数几何中，代数簇（如多项式方程组的零点集 ）上的正则函数指 “局部可表示为多项式比值” 的函数（整体上是多项式，开子集上可推广为有理分式 ）。这类函数的 “正则性” 体现为 “与代数结构兼容”，是连接代数与几何的桥梁。
• 复流形上的正则性：复流形上的全纯函数、亚纯函数，其正则性继承复分析的含义，同时与流形的几何拓扑（如紧性、奇点 ）相互影响（如紧复流形上的亚纯函数需满足特定条件 ）。

四、工程与应用学科中的 “正则性”（广义）

在机器学习、信号处理等领域，“正则性” 常与 “正则化” 概念关联：

五、总结：正则性的统一内涵

无论在纯数学还是应用学科中，“函数的正则性” 本质是衡量函数 “光滑程度”“良好行为（无病态奇点、振荡 ）” 或 “与理想结构（多项式、全纯函数 ）的契合度” 的指标。正则性越高，函数越 “光滑、可预测、易分析”，是数学分析、方程理论、几何与工程应用中描述函数性质的核心概念。

简单说：正则性就是函数 “有多光滑、多规矩” 的度量，越正则的函数，行为越 “良好”，越容易用简洁的数学工具（如级数、积分 ）分析。